Soma de fração

Adição de Frações Com Denominadores Diferentes:

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Atividade educativa indicada para pessoas de todas as faixas etárias, ideal para o aprendizado e prática do Ensino de Matemática.Resolva as operações abaixo. Caso tenha dúvida clique aqui para acessar o material de apoio. Se o número digitado estiver errado será aberta uma janela para que a correção seja feita.

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3 + 3 9 3 = + = . 2 + 6 7 6 = + = . 2 + 3 5 8 = + = . 1 + 3 3 6 = + = .

Produtos Notaveis

I - Efetue os quadrados dos binômios



II - Efetue os produtos de um  binômio por seu conjugado

 

III - Efetue os produtos de Stevin

 

IV - Efetue os cubos dos binômios

 

V - Efetue os quadrados dos trinômios

 

VI - Efetue

 

47) Quanto devemos adicionar ao quadrado de x + 2 para encontrarmos o cubo de x - 3?

48) Determine a quarta parte da diferença entre os quadrados dos polinômios x2 + 2x - 1  e  x2 - 2x + 1

49) Determine a diferença entre o cubo e o quadrado do polinômio 2x2 - 3

50) Se A = 5x2 - 2, determine o valor de A2 - 3A + 1 

 Respostas dos exercícios

A GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

A Gravitação universal é uma força fundamental de atração que age entre todos os objetos por causa de suas massas, isto é, a quantidade de matéria de que são constituídos. A gravitação mantém o universo unido. Por exemplo, ela mantém juntos os gases quentes no sol e faz osplanetas permanecerem em suas órbitas. A gravidade da Lua causa as marés oceânicas na terra. Por causa da gravitação, os objetos sobre a terra são atraídos em sua direção. A atração física que um planeta exerce sobre os objetos próximos é denominada força da gravidade. A lei da gravitação universal foi formulada pelo físico inglês Sir Isaac Newton em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicada em 1687, que descreve a lei da gravitação universal e as Leis de Newton — as três leis dos corpos em movimento que assentaram-se como fundamento damecânica clássica.

Formulação da Lei da Gravitação Universal

Dois corpos puntiformes m₁ e m₂ atraem-se exercendo entre si forças de mesma intensidade F₁ e F₂, proporcionais ao produto das duas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância (r) entre elas. G é a constante gravitacional.

A lei da gravitação universal diz que dois objetos quaisquer se atraemgravitacionalmente por meio de uma força que depende das massas desses objetos e da distância que há entre eles.

Dados dois corpos de massa  e , a uma distância r entre si, esses dois corpos se atraem mutuamente com uma força que é proporcional à massa de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa esses corpos. Matematicamente, essa lei pode ser escrita assim:

onde

F₁ (F₂) é a força, sentida pelo corpo 1 (2) devido ao corpo 2 (1), medida emnewtons;

 é constante gravitacional universal, que determina a intensidade da força,

m ₁ e m₂ são as massas dos corpos que se atraem entre si, medidas emquilogramas; e

r é a distância entre os dois corpos, medida em metros;

 o versor do vetor que liga o corpo 1 ao corpo 2.

A constante gravitacional universal foi medida anos mais tarde por Henry Cavendish. A descoberta da lei da gravitação universal se deu em1685 como resultado de uma série de estudos e trabalhos iniciados muito antes.

Tomando como exemplo a massa de próton e um elétron, a força da gravidade será de 3,6 × 10⁻⁸ N (Newtons) ou 36 nN.

O estabelecimento de uma lei de gravitação, que unifica todos os fenômenos terrestres e celestes de atração entre os corpos, teve enorme importância para a evolução da ciência moderna.

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ISSAC NEWTON

Sir Isaac Newton

A vida de Newton pode ser dividida em três períodos. O primeiro sua juventude de 1643 até sua graduação em 1669. O segundo de 1669 a 1687, foi o período altamente produtivo em que ele era professor Lucasiano em Cambridge. O terceiro período viu Newton como um funcionário do governo bem pago em Londres, com muito pouco interesse pela matemática.

Isaac Newton nasceu em 4 de janeiro de 1643 (quase um ano depois da morte de Galileo) em Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra. Embora tenha nascido no dia de Natal de 1642, a data dada aqui é no calendário Gregoriano, que adotamos hoje, mas que só foi adotada na Inglaterra em 1752. Newton veio de uma família de agricultores, mas seu pai morreu antes de seu nascimento. Ele foi criado por sua avó. Um tio o enviou para o Trinity College, Cambridge, em Junho de 1661.

O objetivo inicial de Newton em Cambridge era o direito. Em Cambridge ele estudou a filosofia de Aristóteles (384aC-322ac), Descartes (René Descartes, 1596-1650), Gassendi (Pierre Gassendi, 1592-1655), e Boyle (Robert Boyle, 1627-1691), a nova álgebra e geometria analítica de Viète (François Viète 1540-1603), Descartes, e Wallis (John Wallis, 1616-1703); a mecânica da astronomia de Copérnico e Galileo, e a ótica de Kepler o atraíram.

 

Detalhe de um diagrama mostrado no livro Principia philosophiae, escrito por Descartes em 1644. O desenho representa a concepção de Descartes sobre o Cosmos: um agregado de vórtices contíguos, muitos deles com uma estrela no centro. O Sol é representado pelo círculo com um S no centro.

O talento de Newton emergiu com a chegada de Isaac Barrow (1630-1677), para a cadeira Lucasiana de matemática em Cambridge.

Seu gênio científico despertou quando uma epidemia de peste fechou a Universidade no verão de 1665, e ele retornou a Lincolnshire. Só em Londres, a peste vitimou mais 70.000 pessoas. Lá, em um período de menos de dois anos, Newton que ainda não tinha completado 25 anos, iniciou a revolução da matemática, óptica, física e astronomia.

Durante sua estada em casa, ele lançou a base do cálculo diferencial e integral, muitos anos antes de sua descoberta independente por Leibniz (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716). O "método dos fluxions", como ele o chamava, estava baseado na descoberta crucial de que a integração de uma função é meramente o procedimento inverso da diferenciação. Seu livro De Methodis Serierum et Fluxionum foi escrito em 1671, mas só foi publicado quando John Colson o traduziu para o inglês em 1736.

Com a saída de Barrow da cadeira Lucasiana em 1669, Newton, com apenas 27 anos, foi nomeado para sua posição, por indicação do anterior, por seus trabalhos em cálculo integral, onde Newton havia feito progresso em um método geral de calcular a área delimitada por cum curva.

O primeiro trabalho de Newton como professor Lucasiano foi em óptica. Ele havia concluído durante os dois anos de peste que a luz branca não é um entidade simples, como acreditavam todos desde Aristóteles. Embora o fato de que a luz solar produz várias cores ao passar por um prisma fosse conhecido, Giambattista della Porta, em seu De Refracione, publicado em Nápoles em 1558, usava a concepção de Aristóteles para dizer que as cores apareciam por modificação da luz. A aberração cromática (anéis coloridos em volta da imagem) de uma lente de telescópio convenceu Newton do contrário. Quando ele passava um feixe de luz solar por um prisma de vidro, um espectro de cores se formava, mas ao passar a luz azul por um segundo prisma, sua cor não mudava.

Newton argumentou que a luz branca era na verdade uma mistura de diferentes tipos de raios que eram refratados em ângulos ligeiramente diferentes, e que cada tipo de raio diferente produz uma cor espectral diferente. Newton concluiu, erroneamente, que telescópios usando lentes refratoras sofreriam sempre de aberração cromática. Ele então propôs e construiu um telescópio refletor, com 15 cm de comprimento.

Newton colocou um espelho plano no tubo, a 45°, refletindo a imagem para uma ocular colocada no lado. O telescópio de Newton gerava imagens nove vezes maior do que um refrator quatro vezes mais longo. Os espelhos esféricos construídos naquela época produziam imagens imperfeitas, com aberração esférica.

Newton foi eleito membro da Sociedade Real em 1672 após doar um telescópio refletor. Ainda em 1672, Newton publicou seu primeiro trabalho científico sobre luz e cor, no Philosophical Transactions of the Royal Society .

Seu livro Opticks só foi publicado em 1704, tratando da teoria da luz e cor e com (i) investigações da cor em películas finas (ii) anéis de interferência de Newton e (iii) difração da luz.

Seu trabalho mais importante foi em mecânica celeste, que culminou com a Teoria da Gravitação Universal. Em 1666 Newton tinha versões preliminares de suas tres leis do movimento. Ele descobriu a lei da força centrípeta sobre um corpo em órbita circular.

O cometa brilhante que apareceu em 1664 foi observado por Adrien Auzout no Observatoire de Paris, Christian Huygens (1629-1695) na Holanda, Johannes Hevelius em Danzig, e Robert Hooke na Inglaterra. Qual seria sua órbita? Tycho Brahe tinha suporto circular, Kepler dizia que era em linha reta, com a curvatura devido à órbita da Terra, mas as observações indicavam que a órbita fosse intrinsecamente curva, e Johannes Hevelius propôs que fosse elíptica. Em 1665 o francês Pierre Petit, em seuDissertação sobre a Natureza dos Cometas propôs pela primeira vez que suas órbitas fossem fechadas, e que os cometas de 1618 e 1664 poderiam ser o mesmo cometa. Vinte anos mais tarde Halley especulou sobre o problema da gravitação em relação aos cometas. Sem conseguir resolver o problema, em agosto de 1684 ele propôs o problema a Newton. Newton disse que já havia resolvido o problema muitos anos antes, e que todos os movimentos no sistema solar poderiam ser explicados pela lei da gravitação. Um cometa na constelação de Virgem em 1680 tinha uma órbita claramente curva. Em 1682 um cometa ainda mais brilhante, que mais tarde levaria o nome de Halley, pode ter sua órbita bem determinada, confirmando o pensamento de Newton.

A idéia genial de Newton em 1666 foi imaginar que a força centrípeta na Lua era proporcionada pela atração gravitacional da Terra. Com sua lei para a força centrípeta e a terceira Lei de Kepler, Newton deduziu a lei da atração gravitacional.

Em 1679 Newton provou que a Lei das Áreas de Kepler é uma consequência da força centrípeta, e também que a órbita é uma elipse, para um corpo sob uma força central em que a dependência radial varia com o inverso do quadrado da distância ao centro.

Halley persuadiu Newton a escrever um trabalho completo sobre sua nova física e sua aplicação à astronomia, e em menos de 2 anos Newton tinha escrito os dois primeiros volumes do Principia, com suas leis gerais, mas também com aplicações a colisões, o pêndulo, projéteis, frição do ar, hidrostática e propagação de ondas. Somente depois, no terceiro volume, Newton aplicou suas leis ao movimento dos corpos celestes. Em 1687 é publicado o Philosophiae naturalis principia mathematica ou Principia, como é conhecido.

O Principia é reconhecido como o livro científico mais importante escrito. Newton analisou o movimento dos corpos em meios resistentes e não resistentes sob a ação de forças centrípetas. Os resultados eram aplicados a corpos em órbita, e queda-livre perto da Terra. Ele também demonstra que os planetas são atraídos pelo Sol pela Lei da Gravitação Universal, e generalizou que todos os corpos celestes atraem-se mutuamente.

Newton explicou uma ampla gama de fenônemos até então não correlatos: a órbita excêntrica dos cometas; as marés e suas variações; a precessão do eixo da Terra; e o movimento da Lua perturbado pela gravidade do Sol.

Newton já explicava que o movimento de tres corpos sob uma força central só pode ser resolvido por aproximação, que a Lei da Gravitação Universal trata os corpos como pontos, e que os planetas não são pontos, nem ao menos esféricos, que o movimento das marés introduz perturbações no cálculo das órbitas, que precisam ser calculadas por aproximações.

Depois de sofrer um colapso nervoso em 1693, Newton abandonou a pesquisa para uma posição no governo em Londres, tornando-se Guardião da Casa da Moeda Real (1696) e Mestre(1699).

Em 1703 foi eleito presidente da Sociedade real, e foi re-eleito a cada ano até sua morte. Foi agraciado com o título de cavalheiro (Sir) em 1708 pela Rainha Anne, o primeiro cientista a receber esta honra.

Morreu em 31 de março de 1727 em Londres, Inglaterra.

Referência: Jean-Pierre Maury, Newton, the Father of Modern Astronomy, 1992, Harry N. Abrans, Inc. editor.

Atomo

Estrutura de um Átomo

Os átomos são compostos de, pelo menos, um próton e um elétron. Podendo apresentar nêutrons (na verdade, apenas o átomo de hidrogênionão possui nêutron: é apenas um elétron girando em torno de um próton).

• Elétrons – Os elétrons são partículas de massa muito pequena (cerca de 1840 vezes menor que a massa do próton. Ou aproximadamente 9,1.10^-28g) dotados de carga elétrica negativa: -1,6.10^-19C. Movem-se muito rapidamente ao redor do núcleo atômico, gerando campos eletromagnéticos.
• Prótons  – Os prótons são partículas que, junto aos nêutrons, formam o núcleo atômico. Possuem carga positiva de mesmo valorabsoluto que a carga dos elétrons; assim, um próton e um elétron tendem a se atrair eletricamente.
• Nêutrons – Os nêutrons, junto aos prótons, formam o núcleo atômico. E, como possuem massa bastante parecida, perfazem 99,9% de toda a massa do átomo. Possuem carga elétrica nula (resultante das sub-partículas que os compõem), e são dispostos estrategicamente no núcleo de modo a estabilizá-lo: uma vez que dois prótons repelem-se mutuamente, a adição de um nêutron (princípio da fissão nuclear) causa instabilidade elétrica e o átomo se rompe.

Os elétrons estão dispostos em 8 camadas que constituem a eletrosfera. Para cada camada, determinado número desubníveis (orbitais) são preenchidos. A mais externa é chamada camada de valência, sendo também a mais energética.

Modelo Atômico de Bohr e Sommerfeld

Bohr (1.913)
(métodos experimentais)

Nota-se no modelo de Rutherford dois equívocos:

• uma carga negativa, colocada em movimento ao redor de uma carga positiva estacionária, adquire movimento espiralado em direção à carga positiva acabando por colidir com ela;


• uma carga negativa em movimento irradia (perde) energia constantemente, emitindo radiação. Porém, sabe-se que o átomo em seu estado normal não emite radiação.

O físico dinamarquês Niels Bohr conseguiu "solucionar" os equívocos cometidos por Rutherford baseando-se na seguinte idéia:

· um elétron num átomo adquire apenas certas energias, e cada energia é representada por uma órbita definida, particular. Se o elétron recebe energia ele pula para uma outra órbita mais afastada do núcleo. Pode ocorrer no elétron a perda de energia por irradiação, e sendo assim, o elétron cai para uma órbita mais próxima do núcleo. Todavia o elétron não pode ficar entre duas órbitas definidas, específicas, pois essa não seria uma órbita estável ( órbita não específica ).
Conclui-se então que: quanto maior a energia do elétron, mais afastado ele está do núcleo.
Em outras palavras: um elétron só pode estar em movimento ao redor do núcleo se estiver em órbitas específicas, definidas, e não se encontra em movimento ao redor do núcleo em quaisquer órbitas.

As órbitas permitidas constituem os níveis de energia do átomo ( camadas K L M N ... ).

Sommerfeld (1.916)
(postulou)

Após o modelo de Bohr postular a existência de órbitas circulares específicas, definidas, em 1.916 Sommerfeld postulou a existência de órbitas não só circulares, mas elípticas também. Para Sommerfeld, num nível de energia n, havia uma órbita circular e (n-1) órbitas elípticas de diferentes excentricidades.
Por exemplo, no nivel de energia n = 4 (camada N), havia uma órbita circular e três órbitas elípticas. Cada uma das órbitas elípticas constitui um subnível, cada um com sua energia.

Modelo atômico de Dalton e de Thonson

Modelo Atômico de Dalton: "bola de bilhar".
O átomo seria uma esfera (partícula) maciça e indivisível.

Thomson (1.897)
(métodos experimentais)

Pesquisando os raios catódicos, o físico inglês J. J. Thomson demonstrou que os mesmos podiam ser interpretados como sendo um feixe de partículas carregadas de energia elétrica negativa, as quais foram chamadas de elétrons. Utilizando campos magnéticos e elétricos, Thomson conseguiu determinar a relação entre a carga e a massa do elétron. Ele conclui que os elétrons (raios catódicos) deveriam ser constituintes de todo tipo de matéria pois observou que a relação carga/massa do elétron era a mesma para qualquer gás que fosse colocado na Ampola de Crookes (tubo de vidro rarefeito no qual se faz descargas elétricas em campos elétricos e magnéticos). Com base em suas conclusões, Thomson colocou por terra o modelo do átomo indivisível e apresentou seu modelo, conhecido também como o "modelo de pudim com