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Linguagem
algébrica: variável e incógnita
Linguagem
algébrica: variável e incógnita. É a parte da Matemática que utiliza símbolos
ou letras para representar os números, podendo ser uma incógnita ou uma
variável. Incógnita: Possui valor determinado, ou seja, valor único para uma
equação. Variável: Possui diversos valores, assim podendo assumir qualquer
valor.
As
expressões algébricas são aquelas que possuem números e letras. Essas letras
são utilizadas para expressar valores desconhecidos ou valores que podem
variar, por isso elas são conhecidas também como variáveis.
O
que é uma expressão algébrica?
Na
Matemática, conhecemos como termo algébrico um número acompanhado de uma
variável.
Veja a seguir alguns exemplos
de expressões algébricas.
a) -4ax² + 2ab
b) 5x – 2y
c)x² +2x `- 3
d) √z +3
Monômios
Um
monômio é um termo algébrico que possui variável e número separados apenas por
uma multiplicação.
Ele é
composto por duas partes: a parte literal, que são as letras que compõem o
termo, e o coeficiente, que é o número que acompanha o termo.
Exemplos:
a)
3ay³
coeficiente:
3
parte
literal: ay³
b) –
2bx
coeficiente:
– 2
parte
literal: bx
c) m²n
coeficiente:
1
parte
literal: m²n
Polinômios
Realizar
a simplificação de uma expressão algébrica é o mesmo que escrevê-la de forma
mais simples. Para isso, precisamos entender o que são termos semelhantes.
Termos
semelhantes
Para
que um polinômio tenha termos semelhantes ele deverá possuir dois ou mais
monômios. Esses termos semelhantes são monômios encontrados em um mesmo
polinômio que possui partes literais e expoentes iguais.
2x2 –
5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x é um polinômio com 6 monômios.
2x2 e
– 3x2 são semelhantes, pois as suas partes literais são as mesmas.
– 5x e
7x são semelhantes, pois possuem partes literais iguais.
+3 e –
3 são semelhantes, pois nenhum dos dois possui partes literais.
Sabendo
quais são os termos semelhantes no polinômio podemos uni-los, ou seja, colocar
um do lado do outro.
2x2 –
3x2 – 5x + 7x + 3 – 3
↓ ↓ ↓
- x2
+ 2x + 0
- x2 +
2x
"Grau
de um polinômio"
"Para
encontrar o grau do polinômio, vamos separar em dois casos, quando ele possui
uma única variável e quando ele possui mais variáveis. O grau do polinômio é
dado pelo grau do maior de seus monômios nos dois casos.
1º
CASO
É
bastante comum o trabalho com o polinômio que possui somente uma variável.
Quando isso ocorre, o monômio de maior grau que indica o grau do polinômio é
igual ao maior expoente da variável:
Exemplos:
Polinômios
de única variável
a) 2x²
– 3x³ + 5x – 4 → note que a variável é x, e o maior expoente que ela tem é 3,
então, esse é um polinômio de grau 3.
b) 2y5
+ 4y² – 2y + 8 → a variável é y, e o maior expoente é 5, então, esse é um
polinômio de grau 5."
2º
CASO
"Quando
o polinômio possui mais de uma variável em um monômio, para encontrar-se o grau
desse termo, é necessário somar-se o grau os expoentes de cada uma das
variáveis. Sendo assim, o grau do polinômio, nesse caso, continua sendo igual
ao grau do maior monômio, mas é necessário ter-se o cuidado de realizar a soma
dos expoentes das variáveis de cada monômio."
"Exemplos:
a) 2xy
+ 4x²y³ – 5y4
Analisando
a parte literal de cada termo, temos que:
xy →
grau 2 (1 + 1)
x²y³ →
grau 5 (2 + 3)
y³ →
grau 3
Note
que o maior termo tem grau 5, então esse é um polinômio de grau 5.
b)
8a²b – ab + 2a²b²
Analisando-se
a parte literal de cada monômio:
a²b →
grau 3 (2 + 1)
ab² →
grau 2 (1 + 1)
a²b² →
grau 4 (2 + 2)
Dessa
forma, o polinômio possui grau 4."
Simplificação
de expressões algébricas
Realizar
a simplificação de uma expressão algébrica é o mesmo que escrevê-la de forma
mais simples. Para isso, precisamos entender o que são termos semelhantes.
Conhecemos
como termos semelhantes aqueles termos algébricos que possuem a mesma parte
literal, como 4xy² e 5xy². Para que eles sejam semelhantes, as variáveis e seus
expoentes precisam ser os mesmos, podendo ter coeficientes diferentes.
Exemplo:
4a²b²
– 8a – 2ab + 4a²b – 2a²b² + 6b – 3ab + 10ab² – 5a²b + 3b + 5 + 3a²b²
Vamos identificar
os termos que são semelhantes entre si:
4a²b²
– 8a – 2ab + 4a²b – 2a²b² + 6b – 3ab + 10ab² – 5a²b + 3b + 5 + 3a²b²
Fazendo
a conta com seus coeficientes, teremos (4– 2 + 3)a²b² = 5, logo:
5a²b²
– 8a – 2ab + 4a²b+ 6b – 3ab + 10ab² – 5a²b + 3b + 5
Repetindo
o processo, notamos que não há nenhum outro termo semelhante com parte literal
composta apenas por a, então vamos fazer o terceiro termo com parte literal ab:
5a²b²
– 8a – 2ab + 4a²b+ 6b – 3ab + 10ab² – 5a²b + 3b + 5
Operando
com seus coeficientes, temos (–2 –3)ab = – 5ab.
5a²b²
– 8a – 5ab + 4a²b+ 6b + 10ab² – 5a²b + 3b + 5
Repetindo
o processo para todos os termos da expressão:
5a²b²
– 8a – 5ab + 4a²b + 6b + 10ab² – 5a²b + 3b + 5
(4 –
5)a²b = - 1 a²b
(6+3)b
= 9b
Então,
a expressão algébrica simplificada é:
5a²b²
– 8a – 5ab – 1a²b + 9b + 10ab² + 5
5a²b²
– 8a – 5ab – a²b+ 9b + 10ab² + 5
Operações
algébricas
Exemplo:
→
Adição
(3a² +
5ab – 3) + (2a² – 3ab + 3b – 8)
Para
calcular a soma, vamos eliminar os parênteses de cada uma das expressões:
3a² +
5ab – 3 + 2a² – 3ab + 3b – 8
Agora
vamos simplificar a expressão algébrica:
5a² +
2ab + 3b – 11
Subtração
A
diferença da adição para a subtração é a necessidade de fazer jogo de sinal com
a expressão que vem após o sinal de menos. Veja o exemplo a seguir:
(3a² +
5ab – 3) – (2a² – 3ab + 3b – 8)
Vamos
inverter o sinal de cada termo algébrico da segunda expressão e remover os
parênteses:
3a² +
5ab – 3 – 2a² + 3ab – 3b + 8
Agora
vamos simplificar a expressão:
a² +
8ab – 3b + 5
→
Multiplicação
Na multiplicação,
aplicamos a propriedade distributiva:
(2xy +
4x – 3 ) ( 3y + 5x)
2xy ·
3y + 2xy · 5x + 4x · 3y + 4x ·
5x + (– 3) · 3y + ( – 3) · 5x
6xy² +
10x²y+12xy+20x² – 9y – 15x
1 - Faça
a operação dos monônimos abaixo:
a) 3ax +
5bx – 12 ax – 15 bx + 4x =
b) 15y –
4z + 3x + 12y – 20z =
c) 24aw +
6x – 12aw – 6x =
d) 5x² +
3x² – x²
e) 10xy –
6xy -3xy
f) 5ab +
7ab – 2ab
g) -7,5abc
+ 7,5abc
h) 10 bc
– 12bc + 5bc + 4bc
i) 5,2b³
– 2,1b³ + 0,8b³ – 1,6 b³
2 - Diga
quais monômios são semelhantes:
a) 5x² e 0,2 x²
b) a²b e ab²
c) -1xy, 0,3 xy e 1/2xy
d) 2a, 2b e 2c
e) 20 a²x² e -1,2 a²x²
3 - Identifique
o coeficiente e a parte literal de cada monômio:
a) 2y²
b) -xy
c) 0,3 xy
d) a²b³
e) -5,2xyz³
f) 3/8
4 - Efetue
as adições algébricas entre monômios:
a) 5x²
+ 3x² – x²
b)
10xy – 6xy -3xy
c) 5ab
+ 7ab – 2ab
d)
-7,5abc + 7,5abc
e) 10
bc – 12bc + 5bc + 4bc
f)
5,2b³ – 2,1b³ + 0,8b³ – 1,6 b³
g) (y2
+ 4y – 5) + (– 3y2 + 12y – 1)
5 - Efetue
as seguintes adições de polinômios:
a)
(2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) _______ (R:5x² -2x + 1)
b)
(5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) ______ (R:3x² + 8x - 10)
c)
(3x-6y+4)+(4x+2y-2) ________ (R:7x -4y +2)
d)
(5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) _______ (R:7x²+ 1)
e)
(4x+3y+1)+(6x-2y-9) _________ (R:10x +1y-8)
f)
(2x³+5x²+4x)+(2x³-3x²+x) _____ (R:4x³ +2x²+ 5x)
g)
(5x²-2ax+a²)+(-3x²+2ax-a²) ____ (R: 2x²)
h)
(y²+3y-5)+(-3y+7-5y²) ________ (R: -4y² + 2)
i)
(x²-5x+3)+(-4x²-2x) __________ (R:-3x² - 7x + 3)
j)
(9x²-4x-3)+(3x²-10)
6 - Efetue
as seguintes subtrações:
a)
(5x²-4x+7)-(3x²+7x-1) _____ (R: 2x² - 11x + 8)
b)
(6x²-6x+9)-(3x²+8x-2) _____ (R: 3x² - 14x + 11)
c)
(7x-4y+2)-(2x-2y+5) _______ (R: 5x - 2y – 3)
d)
(4x-y-1)-(9x+y+3) _________ (R: -5x – 2y – 4)
e)
(-2a²-3ª+6)-(-4a²-5ª+6) _____ ( R: 2a² +2a)
f)
(4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x) ___ (R: -3x³ - 5x)
g)
(x²-5x+3)-(4x²+6) _________ (R: -3x² -5x -3)
h)
(x²+2xy+y²)-(y²+x²+2xy) ____ (R: 0)
i)
(7ab+4c-3a)-(5c+4a-10)
7 - Efetue:
a)
(+7x) + (-3x) = (R: 4x)
b)
(-8x) + (+11x) = (R: 3x )
c)
(-2y) + (-3y) = (R: -5y)
d)
(-2m) + (-m) = (R: -3m)
e)
(+5a²) + (-3a²) = (R: 2a²)
f)
(+5x) + (-5x) = (R: 0)
g)
(+6x) + (-4x) = (R: 2x)
h)
(-6n) + (+n) = (R: -4n)
i)
(+8x) – ( -3x) = (R: 11x)
j)
(-5x) – (-11x) = (R: 6x)
k)
(-6y) – (-y) = (R: -5y)
l)
(+7y) – (+7y) = (R: 0 )
m)
(-3x) – (+4x) = (R -7x)
n)
(-6x) – ( -x) = (R: -5x)
o)
(+2y) – (+5y) = (R: -3y )
p)
(-m) –(-m)
8 - Efetue
:
a) (+
3xy) – (-xy) + (xy) = (R: 5xy)
b) (+
15x) – (-3x) – (+7x) + (-2x) = (R: 9x )
c)
(-9y) –( +3y) – (+y) + (-2y) = (R: -15y)
d)
(3n) + (-8n) + (+4n) – (-5n) – (-n)
http://jmpgeo.blogspot.com/2009/08/03-expressao-algebrica.html
9.
Efetue.
a) ( +
7x) + ( - 3x )=
b) ( -
8x) + (+ 11x)=
c) ( -
2y) + ( - 3y )=
d) (-
2m) + ( - m )=
e) (
-72 x) + (+ 14 x)=
f) ( +
8x) - ( - 3x)=
g) ( -
6y) - ( - y )=
h) ( -
5x) – ( - 11x)=
i) ( +
7y) - ( + 7y)=
10.
Multiplique os monômios.
a)
(+5x) . (- 4x2)=
b)
(-2x) . (+ 3x)=
c) ( -
a) . (+ 6a)=
d)
(+4x2) . (+5x3)=
e)
(+2a) . (- 7b)=
f) ( -
2x) . ( - 3y)=
g)
(3x) . (5y )=
h)
(3ab) . (2a)=
11.
Escreva se os termos algébricos em
cada
item são ou não semelhantes.
a)4x2
e 4x3
b) x e
-x
c)5xy2
e 7xy2
d)7ab
e 6ba
e) 9x
e 9y
f) 9y
e -2y
g)
4xy3 e 4x3y
h) xy
e –xy
12 - Efetue
as seguintes adições:
a)
(2x²-9x+2) + (3x²+7x-1)
b) (5x²+5x-8) + (-2x²+3x-2)
c)
(3x-6y+4) + (4x+2y-2)
d)
(5x²-7x+2) + (2x²+7x-1)
e)
(4x+3y+1) + (6x-2y-9)
f) (2x³+5x²+4x)
+ (2x³-3x²+x)
g) (5x²-2ax+a²) + (-3x²+2ax-a²)
h)
(y²+3y-5) + (-3y+7-5y²)
i)
(x²-5x+3) + (-4x²-2x)
j)
(9x²-4x-3) + (3x²-10)
13)
Efetue as seguintes subtrações:
a)
(5x²-4x+7) - (3x²+7x-1)
b) (6x²-6x+9)
- (3x²+8x-2)
c)
(7x-4y+2) - (2x-2y+5)
d)
(4x-y-1) - (9x+y+3)
e)
(-2a²-3ª+6) - (-4a²-5ª+6)
f)
(4x³-6x²+3x) - (7x³-6x²+8x)
g)
(x²-5x+3) - (4x²+6)
h) (x²+2xy+y²) - (y²+x²+2xy)
i)
(7ab+4c-3a) - (5c+4a-10)
14)Calcule
os produtos
a) 3
(x+y) ____ (R: 3x +3y)
b) 7
(x-2y) ___ (R: 7x - 14y)
c) 2x
(x+y) ___ (R: 2x² + 2xy)
d) 4x
(a+b) ___ (R: 4xa + 4xb)
e)
2x(x²-2x+5) _ (R:2x³ - 4x² + 10x)
f)
(x+5).(x+2) __ (R: x² +7x +10)
g)
(3x+2).(2x+1) __ (R: 6x² +7x + 2)
h)
(x+7).(x-4) ____ (R: x² +3x -28)
i)
(3x+4).(2x-1) ___ (R: 6x² +5x -4)
j)
(x-4y).(x-y) ____ (R: x² -5xy + 4y²)
k)
(5x-2).(2x-1) ___ (R: 10x² -9x + 2)
l)
(3x+1).(3x-1) ___ (R: 9x² - 1)
m)
(2x+5).(2x-5) __ (R: 4x² - 25)
15 - São
dados os polinômios:
A = 3x
+ 2
B =
–4x + 3
C =
–5x – 2
D = 2x
– 1
Calcule:
a) A –
B =
b) A +
B – C =
c) C –
D – A =
d) A –
B + C – D =
16 - Dados
os polinômios abaixo:
A = x2
+ 3x + 3
B =
3x2– 2x – 1
C = –
x 2– x + 2
Calcule:
a) A +
B + C =
b) A –
B + C =
c) C –
B + A =
d) B –
C – A =
17 - Calcule
os produtos:
a) 2x
∙ (3x2– 5x + 4) =
b) ab
∙ (2ab – a + b + b2) =
c) (x2+
x) ∙ (x3+ 2x2– 4) =
d) (2x
– 4) ∙ (3x + 1) =
e) (3x
– 5) ∙ (5x2– 7x + 11) =
18 - Determine
o produto entre polinômios e monômios:
a)
(12a2+ 9a) . (+3a) =
b)
(15x4– 21x3+ 18x2) . (–3x) =
c)
(–2b3+ 5b2– 10b) . (+ 5b) =
d)
(20y5– 35y4+ 15y3– 10y2). (–5y2) =
Valor numérico de uma
expressão numérica.
Cálculo
de uma Expressão Algébrica
O
valor de uma expressão algébrica depende do valor que será atribuído às letras.
Para
calcular o valor de uma expressão algébrica devemos substituir os valores das
letras e efetuar as operações indicadas. Lembrando que entre o coeficiente e a
letras, a operação é de multiplicação.
Exemplo
O perímetro
de um retângulo é calculado usando a fórmula:
P = 2b
+ 2h
Substituindo
as letras com os valores indicados, encontre o perímetro dos seguintes
retângulos
1 - Sendo
a = 4 e b = - 6, encontre o valor numérico das seguintes expressões algébricas:
a) 3a
+ 5b
b) a2
- b
c)
10ab + 5a2 - 3b
2 - Calcular
o valor numérico de 2x + 3a para x = 5 e
a = -4
3 - Calcular
o valor numérico de x² - 7x +y para x = 5 e y = -1
4 - Calcule
o valor numérico das expressões:
a) x –
y (para x =5 e y = -4)
b) 3x
+ a (para x =2 e a=6)
c) 2x
+ m ( para x = -1 e m = -3)
d) m –
2 a ( para m =3 e a = -5)
e) x +
y ( para x = 1 e y = -3)
f) a –b
( para a =3 e b = -4)
5 - Calcule
o valor numérico das expressões
a) a³
- 5 a (para a = -2)
b) x²
- 2y ( para x = -3 e y =5)
c) 3a²
- b² (para a = -2 e b = -7)
d) 5a²
+ 3ab (para a = -3 e b = 4)
6 - Calcular
o valor numérico de (2a + m)/(a + m)
para a = - 1 e m = 3.
7 - Calcular
o valor numérico de 7 + a - b para a = 2 e b = 3
8 - Calcule
o valor numérico das expressões:
a) x -
y para x = 5 e y = - 4
b) 3x
+ a para x = 2 e a = 6
c) 2x
+ m para x = - 1 e m – 3
d) m -
2a para m =3 e a = - 3
e) x +
y para x = 4 e y=5
f) a -
b para a = 3 e b = - 2
9 - Calcule o valor numérico das expressões:
a) a³
- 5a para a = - 2
b) x²
- 2y para x = - 3 e y = 5
c) 3a²
- b² para a = - 2 e b = - 7
d) 5a²
+ 3ab para a = - 3 e b = 4
10 - Determine
os valores da expressão b² - 4.a.c quando:
a) a =
3 b = 2 c = 4
b) a =
- 2 b = 4 c = 10
c) a =
1 b = - 5 c = 6
