A sua fama estendeu-se a todo o mundo heleno, graças especialmente à predição de um eclipse do sol, cuja data não se sabe bem ao certo se foi a de 28 de Maio de 585 ou a de 30 de Setembro de 609 a.c.- predição resultante do uso de uma das tábuas compostas pelos Caldeus, que anunciavam os períodos de 18 anos e 11 dias dos eclipses solares.Proclo, Laércio e Plutano atribuem a Tales não só a transplantação de conhecimentos matemáticos do Egipto para a Grécia, mas ainda à descoberta de várias proposições isoladas relativas às paralelas, aos triângulos e às propriedades do círculo, não apresentando nenhuma sequência lógica, mas com demonstrações dedutivas. Poderá dizer-se que Tales deu a essas matemáticas uma característica que se conserva até hoje, o conceito de "demonstração ou prova". Vamos enunciar algumas proposições de Tales.
Proposição: Os triângulos equiângulos têm os seus lados proporcionais (Euc.vI.4, ou vI.2).
É uma proposição de grande importância, que Tales utilizou na determinação da altura da pirâmide Quéope. Quando Tales de Mileto, cerca de seiscentos anos antes do nascimento de Cristo, se encontrava no Egipto, foi-lhe pedido por um mensageiro do faraó, o nome do soberano, que calculasse a altura da pirâmide Quéope. Tales apoiou-se a uma vara espetada perpendicularmente ao chão e esperou que a sombra tivesse comprimento igual ao da vara. Disse então a um colaborador:
"Vai mede depressa a sombra: o seu comprimento é igual á altura da pirâmide"
Tales, para ser rigoroso, deveria ter dito para adicionar à sombra da pirâmide metade do lado da base desta, porque a pirâmide tem uma base larga, que rouba uma parte da sombra que teria se tivesse a forma de um pau direito e fino; pode acontecer que o tenha dito, ainda que a lenda não refira.
Numa representação mais simples:
Os triângulos são semelhantes porque têm dois ângulos iguais:
então, os lados são proporcionais:
logo:
Proposição: O ângulo inscrito num semi-circulo é recto (Euc.III.31).
Esta proposição é considerada a mais notável de toda a obra geométrica de Tales. Deduz-se facilmente, do facto de se poder inscrever um rectângulo numa circunferência, verificando que as diagonais do rectângulo são diâmetros da circunferência e o rectângulo inscrito pode tomar qualquer posição dentro da mesma circunferência.
Proposição: Quando duas rectas se cortam, os ângulos opostos pelo vêrtice são iguais (Euc.I.15).
Proposição: Se dois triângulos têm dois ângulos de um iguais a dois ângulos do outro e um lado de um igual a um lado do outro (lado este adjacente ou oposto a ângulos iguais), terão também iguais os outros lados que se correspondem num e noutro triângulo, bem como o terceiro ângulo (Euc.I.26).
Segundo Proclo, Tales foi também o primeiro a demonstrar que o diâmetro divide o círculo em duas partes iguais; e que são iguais entre si os ângulos da base de qualquer triângulo isósceles. Transmitiu aos gregos estes e outros conhecimentos, principalmente de astronomia teórica e prática.
Pitágoras,
matemático, filósofo, astrónomo, músico e místico grego, nasceu na ilha de
Samos ( na actual Grécia ).
Pitágoras é uma figura extremamente
importante no desenvolvimento da matemática, sendo frequentemente considerado
como o primeiro matemático puro. No entanto, pouco se sabe sobre as suas
realizações matemáticas pois não deixou obra escrita e, além disso, a sociedade
que ele fundou e dirigiu tinha um carácter comunitário e secreto.
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Essa sociedade, a Escola
Pitagórica, de natureza científica e religiosa (e até mesmo política),
desenvolvia estudos no domínio da matemática, da filosofia e da astronomia. O
símbolo desta irmandade era a estrela de cinco pontas (ou estrela
pentagonal).
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A Escola Pitagórica defendia o princípio de que a origem de todas as coisas
estava nos números, o atomismo numérico.
Ao longo da sua vida, Pitágoras viajou por vários países, tendo aprendido
muitos conhecimentos matemáticos com os egípcios e os babilónios. Entre
outros, dois filósofos com que Pitágoras estudou e que influenciaram as suas
ideias matemáticas foram Tales de Mileto e o seu pupilo Anaximander.
No domínio da matemática, os estudos mais importantes atribuidos a Pitágoras
são:
 a descoberta dos irracionais ;
o teorema do triângulo rectângulo (Teorema de
Pitágoras).
Apesar de actualmente sabermos que, cerca de mil anos antes, já eram conhecidos
casos particulares deste teorema na Babilónia, no Egipto e na Índia, Pitágoras
foi o primeiro a enunciar e demonstrar o teorema para todos os triângulos
rectângulos.
São também atribuidos a Pitágoras (e aos pitagóricos) outros trabalhos
matemáticos, que incluem:
a
descoberta da tabuada ;
o
estudo de propriedades dos números (dos números ímpares regulares, dos números
triangulares, etc) ;
a
construção dos primeiros três sólidos platónicos (é possível que tenha
construído os outros dois) ;
a
descoberta da relação existente entre a altura de um som e o comprimento da
corda vibrante que o produz.
Não se sabe ao certo quando nasceu e morreu Pitágoras mas calcula-se que viveu
uma longa vida (entre 80 a 100 anos), entre a primeira metade do século VI a.C.
e o início do século V a. C.
Conta a lenda que Pitágoras, ao olhar para o chão onde apareciam
desenhos verificou, por composição e decomposição de figuras, uma propriedade
de todos os triângulos rectângulos:
A área de um quadrado construído sobre a
hipotenusa (lado oposto ao ângulo recto) de um triângulo rectângulo é igual à
soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (os outros dois
lados).
Desta relação surgiu o Teorema de Pitágoras tal como o conhecemos
hoje:
Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma
dos quadrados dos catetos.
Actualmente, são conhecidas várias demonstrações do
Teorema de
Pitágoras.
Aquela que se pensa ter sido a demonstração
original (ou uma delas) é a seguinte:
Temos dois quadrados iguais de lado a+b.
Todos os triângulos rectângulos marcados em
ambos os quadrados são iguais (a e b são os seus catetos e c a hipotenusa).
O primeiro quadrado é formado por quatro triângulos
e por um quadrado de lado c, pelo que a sua área é
c2 +
4(ab/2) = c2 + 2ab.
O segundo quadrado é formado por dois quadrados de
lados a e b e por quatro triângulos. Logo, a sua área é dada por
a2 + b2 + 4(ab/2) = a2 + b2 + 2ab.
Igualando ambas as expressões, temos
c2 +
2ab = a2 + b2 + 2ab
ou seja, a2 +
b2 = c2.
Curiosidades de Pitágoras
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Pitágoras
e os pitagóricos foram os primeiros a estabelecer a demonstração com base num
raciocínio dedutivo. A eles se deve também a palavra Matemática que para eles
significava "ciência por excelência".
A
Escola Pitagórica, fundada em Crotona, admitia pessoas de ambos os sexos.
Aliás, Teano, a esposa de Pitágoras, foi provavelmente a primeira matemática da
história.
No entanto, os membros desta irmandade estavam sujeitos a normas muito
rigorosas pois tinham que viver castamente, seguir uma dieta rigorosa e manter
uma atitude contida e sossegada. Era proibido o riso e deviam cultivar o hábito
da autocrítica.Os alunos estavam divididos em dois grupos, os externos e os
internos.
Só os alunos internos tinham contacto directo com Pitágoras. Os alunos externos
viam Pitágoras apenas depois de quatro anos de curso, durante os quais recebiam
as suas lições escritas e autenticadas com a fórmula "autos efa" que
significa "o que ele disse", para dar a entender que não existia
discussão possível.
Convencidos
de que estavam a formar uma sociedade selecta e predestinada pelos deuses a pôr
em ordem a vida dos homens comuns, os pitagóricos decidiram fundar em Crotona,
com base nas verdades filosóficas elaboradas por "o mestre", a
república ideal.
Conta a história que, em determinado momento, os habitantes de Crotona deram-se
conta de que todas as magistraturas estavam ocupadas por pitagóricos e que
estes estavam quase a converter a cidade naquilo em que Pitágoras havia
convertido a sua academia, uma espécie de prisão. Então, dispostos a modificar
esta situação, rodearam a academia. Pitágoras fugiu, a meio da noite e em roupa
interior, mas acabou por ser alcançado e morto pela população em fúria.
Aos
pitagóricos é atribuída a máxima " Tudo é número ", mas a noção que
eles tinham de número correspondia a números inteiros ou fraccionários. Por
isso, quando descobriram os irracionais mantiveram essa descoberta secreta,
para não porem em causa a sua própria teoria.
Actividades
de Pitágoras
Para
a resolução de muitos problemas da vida prática é importante a relação entre as
medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo rectângulo. O Teorema de
Pitágoras dá-nos um grande auxílio nesse sentido.
As actividades aqui apresentadas são exercícios simples que os alunos do 8ºano
do ensino básico costumam resolver, ao terem um primeiro contacto com este
teorema.
 De acordo com os dados da
figura e sabendo que o escadote fechado tem 2 m de altura, determina a
distância entre a lâmpada e o topo do escadote.
Resolução:
Determinemos a altura do escadote aberto.
22 = 0,82 + x2
x2 = 4 – 0,64
x2 = 3,36
x = √3,36
x » 1,8
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2,8 – 1,8 – 0,3 = 0,7
Logo, a distância entre a lâmpada e o topo do escadote é, aproximadamente, 70
cm.
No
cubo da figura, de aresta 8 cm, os pontos M e N são pontos médios,
respectivamente, das arestas [HE] e [EF].
Uma formiga que se encontra em A pretende ir de A a
N tendo dois percursos alternativos:
 de A a E e de E a N ;
de A a M e de M a N.
Qual
é o menor dos dois percursos?
Resolução:
Calculemos a distância do ponto A ao ponto E.
d2 = 82 + 82
d2 = 128
d = √128
d » 11,31
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Como N é o ponto médio da aresta [EF] e esta mede 8 cm, a distância entre E e N
é 4 cm.
Então, o percurso de A a E e de E a N mede cerca de 11,31cm+4cm=15,31 cm.
Calculemos agora a medida do outro percurso.
x2 = 42 + 82
x2 = 16 + 64
x2 = 80
x =
√80
x » 8,94
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y2 = 42 + 42
y2 =
32
y = √32
y »
5,66
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8,94 + 5,66 = 14,6
Então, o percurso de A a M e de M a N mede, aproximadamente, 14,6cm.
Logo, o percurso menor é de A a M e de M a N ( 14,6 < 15,31).
NÚMEROS NATURAIS
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N.
Representado assim:
N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }
A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.
• 6 é o sucessor de 5.
• 7 é o sucessor de 6.
• 19 é antecessor de 20.
• 47 é o antecessor de 48.
Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.
Quando um conjunto é finito?
O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}
Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}
Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.
• O conjunto dos alunos da classe.
• O conjunto dos professores da escola.
• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.
A história dos números naturais e o estado do zero
Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de objetos, começando com o número dois, e daí por diante. Uma abstração seguinte foi identificar o número um. [1]
O avanço seguinte na abstração foi o uso de numerais para representar os números. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por exemplo, os babilônicos desenvolveram um sistema de atribuição de valor baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10. Os egípcios antigos possuíam um sistema de numerais com hieróglifos distintos para 1, 10, e todas as potências de 10 até um milhão. Uma gravação em pedra encontrada em Karnak, datando de cerca de 1500 a.C. e atualmente no Louvre, em Paris, representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; e uma representação similar para o número 4 622.
Um avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento da ideia do zero como um número com seu próprio numeral. Um dígitozero tem sido utilizado como notação de posição desde cerca de 700 a.C. pelos babilônicos, porém ele nunca foi utilizado como elemento final. [2] Os olmecas e a civilização maia utilizaram o zero como um número separado desde o século I a. C., aparentemente desenvolvido independentemente, porém seu uso não se difundiu na Mesoamérica. O conceito da forma como ele é utilizado atualmente se originou com o matemático indiano Brahmagupta em 628. Contudo, o zero foi utilizado como um número por todos os computus (calculadoras da idade média) começando com Dionysius Exiguus em 525, porém no geral nenhum numeral romano foi utilizado para escrevê-lo. Ao invés disto, a palavra latina para " nenhum", "nullae", foi empregada.
Reta Numérica Inteira
Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estão crescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que -1 e assim em diante. Vamos comparar alguns números inteiros.
- -5 > -10
- +8 > -1000,
- -1 > -200.000,
- -200 < 0,
- -234 < -1,
- +2 > -1,
- -9 < +1
Lembrete:
- Zero é maior que qualquer número negativo.
- Um é o maior número negativo.
- Zero é menor que qualquer número positivo.
- Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.
- Pertencem ao conjunto dos números naturais os números inteiros positivos incluindo o zero.
Números opostos ou simétricos
Observe que a distancia do -3 até o zero é a mesma do +3 até o zero, estes números são chamados de opostos ou simétricos. Logo: - 2 é oposto ou simétrico do + 2, + 20 é oposto ou simétrico do - 20, - 100 é oposto ou simétrico de + 100. Adição e Subtração de Números Inteiros Exemplos:
- (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
- (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
- (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
- (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração)
- (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração)
Lembrete: Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito(número negativo) e crédito(número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo 15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma divida de 5 reais faço mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13. Multiplicação e Divisão de Números Inteiros Exemplos:
- (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)
- (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +)
- (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)
- (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)
- (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)
- (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)
- (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)
- (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)
Lembrete: Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e sempre positivo, a multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é sempre negativo.
Potenciação de Números Inteiros
Exemplos:
- (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32
- (-8)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) d) (+9)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo)
- (18)1 = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo)
Importante: (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenas o número está elevado ao quadrado.
A Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem como objectivo adicionar o primeiro número designado por multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número designado multiplicador.
Por exemplo, 5 vezes 3 é somar o número 3 cinco vezes:
5 ´ 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =15
O resultado da multiplicação é designado produto e os números dados que deram origem ao produto, são chamados factores.
Propriedades da Multiplicação
Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais factores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro factor com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.
( m + n ) + l = m + ( n + l )
Exemplo:
( 2 ´ 4 ) ´ 5 = 2 ´ ( 4 ´ 5 ) = 40
Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos factores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento pelo primeiro elemento, isto é:
m ´ n = n ´ m
Exemplo:
2 ´ 5 = 5 ´ 2 = 10
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o factor, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m ´ ( n + l ) = m ´ n + m ´ l
Exemplo:
2 ´ ( 3 + 5 ) = 2 ´ 3 + 2 ´ 5 = 6 + 10 = 16
No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:
1 ´ n = n ´ 1 = n
Exemplo:
1 ´ 5 = 5 ´ 1 = 5
NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros são constituídos dos números naturais, incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e todos números negativos simétricos aos números naturais não nulos (−1, −2, −3, ...). Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos.
Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.
[editar]
Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois inteiros são inteiros.
Propriedades algébricas
O fato de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros pode ser expresso matematicamente dizendo-se que ( Z, +, *) é um anel comutativo com unidade.
Os inteiros não formam um corpo, já que, por exemplo, não existe um inteiro x tal que 2 x = 1. O menor corpo que contém os inteiros são os números racionais.
Uma importante propriedade dos inteiros é a divisão com resto: dados dois inteiros a e b com b ≠ 0, podemos sempre achar inteiros q e r tais que a = b q + r e tal que 0 <= r < | b| (veja módulo ou valor absoluto). q é chamado o quociente e r, o resto da divisão de a por b. Os números q e r são unicamente determinados por a e b. Esta divisão torna possível o Algoritmo Euclidiano para calcular o máximo divisor comum, que também mostra que o máximo divisor comum entre dois inteiros pode ser escrito como a soma de múltiplos destes dois inteiros.
Os números inteiros positivos foram os primeiros números trabalhados pela humanidade e tinham como finalidade contar objetos, animais, enfim, elementos do contexto histórico no qual se encontravam.
O conjunto dos números inteiros positivos recebe o nome de conjunto dos números naturais. Sendo ele:
.jpg) ={0,1,2,3,4,5,6…}
Enquanto que o conjunto dos números inteiros contempla também os inteiros negativos, constituindo o seguinte conjunto:
.jpg) ={…,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8…}
Os números inteiros estão presentes até hoje em diversas situações do cotidiano da humanidade, como, por exemplo, para medir temperaturas, contar dinheiro, marcar as horas, etc. Sua importância é indiscutível.
Diante disso, buscaremos estudar todas as propriedades desse conjunto numérico que existe há tanto tempo, perpassando pela teoria de conjuntos, intersecção de conjuntos numéricos, entre outros conceitos que fazem parte desse conteúdo.
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