Triângulo retângulo

Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos. É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados.




Índice [esconder]

1 Elementos do triângulo retângulo

1.1 Catetos

1.2 Altura relativa à hipotenusa

1.3 Projeções dos catetos

2 Relações métricas do triângulo retângulo

3 Teorema de Pitágoras

4 Relações trigonométricas do triângulo retângulo

4.1 Seno de um ângulo

4.2 Cosseno de um ângulo

4.3 Tangente de um ângulo

4.4 Cotangente de um ângulo

4.5 Secante de um ângulo

4.6 Cossecante de um ângulo

5 Ângulos notáveis

6 Triângulos retângulos exatos

7 Circunferência inscrita num triângulo retângulo

8 Ver também

9 Ligações externas



[editar] Elementos do triângulo retângulo



Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.Um triângulo retângulo é composto por quatro principais elementos:



Catetos

Hipotenusa

altura relativa à hipotenusa

projeções dos catetos.

[editar] Catetos

Os catetos são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°.



[editar] Altura relativa à hipotenusa

[editar] Projeções dos catetos

A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos.



[editar] Relações métricas do triângulo retângulo

As relações métricas do triângulo retângulo são quatro. Os três triângulos formados são retângulos e semelhantes.



A hipotenusa é igual à soma das projeções.





Por semelhança de triângulos, temos que:



O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.



O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção(que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.





O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.



[editar] Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras diz que:



A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.



— Pitágoras



ou, em linguagem matemática:



hipotenusa (AB)² = cateto (BC)² + cateto (CA)²



[editar] Relações trigonométricas do triângulo retângulo

Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras três: Cotangente, Secante e Cossecante.



[editar] Seno de um ângulo

É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem :





[editar] Cosseno de um ângulo

Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::





[editar] Tangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:





[editar] Cotangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:





[editar] Secante de um ângulo

É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:





[editar] Cossecante de um ângulo

É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:





[editar] Ângulos notáveis



[editar] Triângulos retângulos exatos

São aqueles que todos os lados são diferentes dos que formam um terno pitagórico. hipotenusa, cateto, cateto



[editar] Circunferência inscrita num triângulo retângulo

O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:



a + b = c + d





a = cateto

b = cateto

c = hipotenusa

r = raio da circunferência inscrita

d = diâmetro da circunferência inscrita





Substituindo I e II em III, teremos







Como:

cqd

[editar] Ver também